dijous, 8 de novembre de 2012

Microrrelats matemàtics i problemes matemàtics sense solució

Once upon a time there were the Sun and the Shadows...

...i, ara... en un carrer de Dunedin, Nova Zelanda, tenim un rècord...

...I us preguntareu, què tenen a veure el Sol, les ombres i els rècords amb els micorrelats matemàtics i els problemes sense solució? Doncs molt.
Si recordeu el microrrelat fotogràfico-matemàtic Ànimes negres, i ho relacionem amb el principi d'aquesta entrada, trobarem un problema matemàtic sense solució.
El microrrelat parla d'una nena que perd l'ànima, devorada per l'ombra d'un sinistre gall de ferro, a l'hora en que la seva alçada i la de la seva ombra són de la mateixa mida. El microrrelat explica que això passa al capvespre. L'Eduard Masana Fresno, Doctor en Física del Departament d'Astronomia i Meteorologia de la UB, ens ha donat un cop de mà per veure que la situació geomètrica i trigonomètrica que es produeix en el microrrelat no té solució a la Terra (cosa que lliga amb la situació fantàstica que es descriu :-)).

Ajudem-nos del següent dibuix per descriure aquesta situació:


















Estem suposant que la nena puja ben dreta pel carrer, formant un angle de 90 graus amb ell. L'alçada de la nena i la seva ombra són de la mateixa mida en el moment de la història, el que ens porta a un triangle isòsceles amb dos angles iguals de 45 graus. L'angle suplementari, amb el raig de sol, farà doncs 135 graus.
I ara ve el que l'Eduard Masana ens ha explicat: l'alçada del Sol, aproximadament una hora abans de pondre's, oscil·la entre els 9 i els 11 graus a les latituds europees, i com a màxim, pot assolir els 15 graus a l'Equador terrestre. Tenint en compte aquestes dades i el fet que els angles d'un triangle sumen 180 graus, obtenim una acotació per a la inclinació del carrer. Fem els càlculs:

Cota màxima:  180 - 9 - 135 = 36 graus

Cota mínima: 180 - 15 - 135 = 30 graus

Així doncs, el carrer que puja la nena podria tenir, segons el lloc de la Terra on es trobés ella, una inclinació mínima de 30 graus i una màxima de 36 graus.

I ara ve quan apareix Dunedin i el seu carrer de rècord Guiness.


Aquest carrer és el més inclinat de la Terra, amb un pendent del 35%. Vosaltres podríeu pensar que el problema té solució, 35 està entre 30 i 36, però això no es cert: 35 és un percentatge (indica que de cada 100 metres que es caminen en horitzontal, 35 es pujen en vertical), no és un angle. Per a calcular l'angle que fa el carrer amb la horitzontal es necessita una raó trigonomètrica anomenada tangent. La tangent de l'angle és 35/100 = 0,35, per trobar l'angle cal fer l'arc tangent de 0,35. El resultat que se n'obté és de 19 graus. Aleshores, el carrer amb més pendent de la Terra té 19 graus d'inclinació, ergo, la situació geomètrica que descriu el microrrelat Ànimes negres és tan irreal com la fantàstica història que narra.

Esperem que us hagi agradat aquesta petita classe de trigonometria!

Nota: Si la nena estigués inclinada cap al davant, l'inclinació del carrer encara sortiria més gran.